Теорема за интермонотонните функции. Да се ръководи от доказателството на теоремата, като използва два метода. И така, като се има предвид обозначението на строго нарастващи, невлошаващи се, строго намаляващи и нерастящи функции. Определена монотонна функция.
ЗмистФункцията не е обвързана със звяра
1.1. Нека числото b в края: .
1.1.2. Нека функцията не е заобиколена от огън.
.
при .
Значително. Todí for be-whom isnuê, so scho
при .
Tse означава, че границата между лявата ръка в точка b е по-красива (разд. „Обозначаване на едностранни несъответствия между функциите в крайната точка“).
b рано плюс неточности
Функцията е възложена на звяра
1. Нека функцията не се променя на интервала.
1.2.1. Нека функцията е заобиколена от числото M: at.
Извежда се наяве, че има граница между всеки един.
Функцията Oskílki е заобиколена от звяра, основният край на горния ръб
.
Vіdpovіdno до точната горна граница, vikonuyutsya така ум:
;
за всяко положително има такъв аргумент, за някои
.
Ако функцията не се промени, тогава при . Тоди за . Або
при .
Отче, ние разкрихме, че каквото и да е, има число, така че
при .
„Определяне на едностранни граници при несъответствие“).
Функцията не е обвързана със звяра
1. Нека функцията не се променя на интервала.
1.2. Нека числото b е по-красиво плюс несъответствия: .
1.2.2. Нека функцията не е заобиколена от огън.
Извежда се наяве, че има граница между всеки един.
Тъй като функцията не е обвързана със звяра, тогава за всяко число M има такъв аргумент, за който
.
Ако функцията не се промени, тогава при . Тоди за .
Татко, каквото и да е числото, така
при .
Tse означава, че границата е в същото време (разд. „Определяне на едностранни несъответствия между несъответствия“).
Функцията не расте
Сега нека да разгледаме есента, ако функцията не се подобри. Можете да харесате и още, да разгледате кожената версия на okremo. Ale mi okhopimo тях веднъж. За кого използваме. Извежда се наяве, че има граница между всеки един.
Нека да разгледаме крайната долна граница на безличния смисъл на функцията:
.
Тук B може да бъде като крайно число, така че може да бъде далечна точка. Vidpovidno, докато се определи точният долен ръб, така че имайте предвид:
;
за това дали е близо до точка Б, има такъв аргумент, за който
.
За умствени теореми,. Том.
Ако функцията не расте, тогава за . Осцилки тогава
при .
Або
при .
Освен това отбелязваме, че неравностите показват лявата пробита покрайнина на точка b.
По-късно знаехме, че независимо дали покрайнините на точка b са пробити или не, вляво от покрайнините на точка b
при .
Tse означава, че границата е зла в точка b е по-красива:
(Раздел. Универсално обозначение на интерфункциите според Коши).
граница в точка а
Сега е показано, че значението на границата в точката a и i е известно.
Нека да разгледаме функцията. Според теоремата на ума функцията е монотонна при . Нека променим x на - x (в противен случай ще променим заместването и след това ще променим t на x). Тогава функцията е монотонна при . Умножавайки неравностите по -1 и променяйки реда, стигаме до точката, че функцията е монотонна при .
По подобен начин е лесно да се покаже, че ако не се променя, значи не расте. Todi zgіdno s привеждане на повече, isnuє граница
.
Ако не растете, значи не се променяте. Чийто ум има граница
.
Сега вече не е възможно да се покаже коя е главната интер-функция при , главната интер-функция при и q интер-равно:
.
Нека въведем обозначението:
(1)
.
Виразимо от f до g:
.
Вземете по-скоро положително число. Нека е епсилон близо до точка A . Епсилонът около околността е показан като последната, толкова неизчерпаема стойност на A (разд. „Околност на точка“). Парчета на границата (1), след това, zgіdno z обозначението на границата, за каквото и да е, че
при .
Нека а е крайното число. Virazimo лъв, прободен около точката -a, неравности на vicorist:
при .
Заменете x с -x и променете това:
при .
Останалите две неравности представляват пробития десен ръб на точка a . Тоди
при .
Да кажем, че a е безкрайно число, . Повтаряме микроскопията.
при;
при;
при;
при .
Татко, знаехме това за когото и да било
при .
Tse означава какво
.
Теоремата е завършена.
див. също:Zastosuvannya pokhіdnoї dolіdzhennya funktsіy.
§1. Растеж и промяна на функциите.
Теорема (критерий за монотонност на функция, която може да бъде диференцирана).Нека функцията бъде прекъсната 
той е диференциран във всички свои вътрешни точки. Тоди:
За монотонен растеж на функция е необходимо и достатъчно, че 
0;
За монотонна промяна на функция е необходимо и достатъчно в (а, в)
0;
За постоянна функция е необходимо и достатъчно, така че (а, в)
=0.
Док-ин. Ние осигуряваме достатъчно за нарастваща функция. Vibero доста малко 
. Зад теоремата на Лагранж има една точка 
, какво от това. защото обидни множители в дясната част на nevid'emni, тогава 
, тогава. 
. Отново функцията нараства монотонно.
Ние носим необходимостта от нарастваща функция. Нека f (х)
- монотонно нарастващ. Тоди 
, по късно 
V (A, c).
За функцията на разпадане докажете аналогично.
Ние носим необходимостта от пост функция. Якщо f(х)=
конст V (а, в),Че 
.
Нека приведем достатъчността на константната функция. Хайде 
V (а,
b)
. Todi team more 
V (а,
b)
. След това, след като го изведете по-високо, функцията нараства монотонно (а,
b)
, тогава. . От другата страна, като 
V (а,
b)
повече време 
V (а,
b)
. След това, след повишаването му, функцията се променя монотонно (а,
b)
, тогава. . Един час vykonannya tsikh умове може да бъде по-малко за 
.▲
дупето. Познаване на интервали на монотонност на функция 
.
Знаем, че ще отида 
. Очевидно е, че когато времето 
, функцията нараства. При 
добре 
, функцията се променя.
§2. Екстремни функции.
Хайде функция 
зададен на интервала 
.
ОПР. Крапка 
се нарича точка на локален максимум на функцията f(х)
.
ОПР. Крапка 
се нарича точка на локалния минимум на функцията f(х)
, сякаш в deaky нейните покрайнини на ума vykonuєtsya: 
.
Стойността на функцията в точките на локалния минимум и максимум се нарича минимум и максимум на функцията. Минимумът и максимумът на функция трябва да се разбират от разбирането на „екстремум на функция“
(екстра f).
Значение на значението на локален и глобален екстремум.
Теорема (необходима за ума на локален екстремум).Като диференцирана функция може да има екстремум в точка 
, тогава тя е подобна в tsіy точка до нула: 
.
Док. Якщо 
- точка до екстремум на диференцирана функция, isnuє deak около tsієї точки, yakіy vikonanі ум теорема на Ферма. Todi я pokhіdna 
.
уважение. Функцията може да има екстремум i в точки, за които не е диференцирана (например точките отиват до областта на присвояване). Например функция 
максимален екстремум в точката х = 0,но не диференцирани в тях.
Точките, в които тя е подобна на нула или не, се наричат стационаренили критиченточки. От теоремата става ясно, че точките на локален екстремум на функция са критични точки. Zvorotne твърдост не е така. Например функция 
май nevid'emnu pokhіdnu, tobto. расте по цялата числена ос, така че няма екстремна точка. В същия час 
е нейната критична точка.
Теорема (достатъчна за локален екстремум). Yakshcho píd час да премине през критичната точка 
ако функцията е диференцираща, промяна на знака от “+” на “-”, тогава 
- точката на локалния максимум, т.е. от "-" до "+", тогава 
- точка на локален минимум.
Док. Vіdpovіdno до достатъчно ум монотонност, функцията расте zlіva в 
и десничарят се променя, също чрез непрекъснатата функция, 
е максимална точка. Подобна микроскопия за минимум.
уважение. Щом преходът през критичната точка не променя знака, тогава тази точка на екстремума на функцията не променя.
Теорема (2 е достатъчно за локален екстремум). За да бъде функцията малка, локалният максимум (минимум) в критичната точка 
, достатъчно, че в сегашните покрайнини на центъра на точката имаше непрекъснат приятел 
(
).
(Без док-ва).
дупето. Познаване на екстремни функции 
;
нейната похидна: 
.
Съществени критични точки: 
,
- Критични точки.
Показателно е, че знакът е подобен в покрайнините на критичните точки.
- минимална точка, 
- Минимална функционалност;
- максимална точка, 
- максимална функционалност.
§3. Най-важната и най-малко важната функция на навиващото устройство.
В случай на различни приложни задачи е необходимо да се присвоят глобалните екстремуми на функцията към текущия интервал. Ако този интервал е във вятъра, тогава екстремалната функция може да бъде достигната както в крайните точки, така и в краищата на вятъра.
дупето. Намерете най-важната функция 
на vídrіzka 
.
Решение. Функцията се дава без прекъсване на дадената намотка (тъй като банерът не се обръща на нула), а също така можете да вземете екстремни стойности или в точките на екстремум, или в точките на навиване. Нека изчислим разходите:
. Към същите критични точки са точки х = 0і х=-2. За когото вятърът е повече от точка х = 0. Изчисляваме стойността на функцията в точката на екстремума и в краищата на свиването:
,
,
. Porovnyuyuchi tsі стойности, подходящи, scho най-голямата стойност на функцията е достигната в точката х = 0.
§4. Изпъкналостта на функцията. Инфлексни точки.
Деф. Функцията се нарича издуване нагоре (подуване) на празнината X, което е 
. Графика на пропуска за функцията X-threading върху това дали е sichnaya (и дали е точкова) за следващия o-m_zh.
По същия начин се въвежда определена функция, подута (свита).
издутина (нагоре) изпъкнал (издърпан надолу)
Теорема (критерий за набъбване на функция). Хайде функция 
диференцирани в интервала (а, в). Това е необходимо и достатъчно за низходящата изпъкналост на функцията, така че 
нараства монотонно на същия интервал. За подуване на функцията нагоре е необходимо и достатъчно т.н 
паднаха монотонно в същия интервал.
Naslіdok (достатъчно подуване на ума). Подобно на различна функция, която е двупосочна диференцираща, невидима (неположителна) в средата на текущата празнина, тогава функцията е изпъкнала надолу (нагоре) към тази празнина.
ОПР. Точките, в които графиката на функцията директно променя набъбването, се наричат точки на инфлексия на графиката на функцията.
Абсцисата е точката на огъване и точките на екстремума на първата линия.
Теорема). Друга подобна функция, която прави разлика между две, в точката на превишаване е по-близо до нула: 
.
Абсцисата на точката, която има необходимата интелигентност, се нарича критични точки от различен вид. Ако графиката е надчертана, тогава тя е по-малка в такива точки.
ТеоремаХайде 
- Dvіchі диференцирани в интервала (а, в). Точно като приятел, това е подобно на следващия час при преминаване на критична точка от различен вид 
сменете знака, след това точката 
е точка на пречупване на графиката на функцията.
уважение. Ако промените знака на друг лош, тогава няма да променя графиката в точката.
дупето. 
,
;
- Инфлексна точка.
Също така, за да се знаят интервалите на подуване на функцията, е необходимо:
1. Кажете на приятел подобна функция.
2. Знайте точките, където 
чи не знам.
3. Следвайте знака на друга подобна лява и дясна ръка под формата на известни точки и длета за прави издутини и точки на огъване въз основа на достатъчно умове.
§5. Асимптоти на графиката на функцията.
p align="justify"> Графиките на някои функции са подредени в равнината по такъв начин, че ако кочанът на координатите не е ограничен в далечината, вонята не е ограничена до някакви прави линии, но не и да ги преобърне. Те се наричат директно асимптоти на функцията.
Асимптотите могат да бъдат хоризонтални, вертикални или крехки.
Направо г=
а
се нарича хоризонтална асимптота на графиката на функцията г=
f(х)
.
Направо х=
bнаречена вертикална асимптота към графиката на функцията г=
f(х)
yakscho isnuє kіntseva 
.
Следват вертикални асимптотики в точките на разширение на функцията или в краищата на обхвата.
Ако функцията няма хоризонтални асимптоти, тогава може би това е лошо.
Асимптотата е умряла до графиката на функцията, ако е краят на деня предиі V, които се изчисляват по формулите:
,
. Todi pohila асимптота се дава на равни г=
kx+
b. Искам едно от числата предиі Vако не е ясно, значи в графиката на функцията няма крехки асимптоти.
§6. Основната схема на проследяване на функциите.
аз. 1. Област на местоназначение.
2. Напречни точки с координатни оси.
3. Парнист.
4. Периодичност.
5. сигурност.
6. Асимптоти.
II. 7. Монотонен.
8. Точки на екстремум, екстремум.
10. Криви точки на графиката.
IV.единадесет. Допълнителни точки.
12. Построена графика.
Обозначаване на нарастваща и затихваща функция
Нека \(y = f\left(x \right)\) е функция, която диференцира в интервала \(\left((a,b) \right).\) Функцията се нарича нарастващ
(в противен случай непадане
) на даден интервал, както за всякакви точки \((x_1),(x_2) \in \left((a,b) \right),\), така че \((x_1)
Например, nerіvnіst е suvorim, tobto. \(f\left(((x_1)) \right) \lt f\left(((x_2)) \right),\) тогава функцията \(y = f\left(x \right)\) изглежда бъдете е строго растящ
на интервала \(\left((a,b) \right).\)
По същия начин те се назначават спадна(в противен случай не расте ) че суворо затихване функции.
Въвеждането на понятието може да се формулира в по-компактна форма. Извиква се функцията \(y = f\left(x \right)\).
- нарастващ (непадане
- строго растящ на интервала \(\left((a,b) \right),\) като \[ (\forall\;(x_1),(x_2) \in \left((a,b) \right):\; ) ((x_1)
- затихване (не-растеж ) на интервала \(\left((a,b) \right),\) като \[ (\forall\;(x_1),(x_2) \in \left((a,b) \right):\ ; ) ((x_1)
- суворо затихване
на интервала \(\left((a,b) \right),\) като \[ (\forall\;(x_1),(x_2) \in \left((a,b) \right):\; ) ((x_1) Беше ясно, че не-низшата функция може да отмъсти за бавния растеж на този интервал, функцията de е постоянна. Схематично илюстрирано на малки \ (1-4 \).
Фиг. 1
Фиг.2
Фиг.3
Фиг.4
По този начин функцията \(f\left(x \right)\) се диференцира на интервала \(\left((a,b) \right)\) и лежи до един от няколко различни типа (т.е. нарастващ , строго растяща) , така че пада надолу или пада внезапно), тогава се извиква такава функция монотоненна този интервал.
Разбирането на растежа на тази модифицирана функция може да се използва и за малка точка \((x_0).\) В този изглед, малка \(\delta\)-среда \(\left(((x_0) - \delta , (x_0) + \delta) \right)\) qієї точки. Функция \(y = f\left(x \right)\) строго растящ точка \((x_0),\) е число \(\delta > 0,\) такова, че \[\forall\;x \in \left(((x_0) - \delta ,(x_0)) \ right) \Rightarrow f\left(x \right) f\left(((x_0)) \right).\] Функцията \(y = f\left(x \right)\) в точка \ ((x_0).\ )
Критерии за растеж и промяна на функцията
Нека да разгледаме отново функцията \(y = f\left(x \right),\), докато диференцираме на текущия интервал \(\left((a,b) \right).\) знак за първото добро функции.
Теорема 1 .
За да бъде функцията \ (y = f \ ляво (x \ дясно) \). нарастващ на интервала \(\left((a,b) \right),\) е необходимо и достатъчно, така че първата подобна функция не беше видяна от мен навсякъде в дадения интервал: затихванена интервала \(\left((a,b) \right):\)\Нужен ум .
Нека да разгледаме пълната точка \((x_0) \in \left((a,b) \right).\) Така функцията \(y = f\left(x \right)\) расте с \(\ left((a, b) \right),\) тогава може да се напише зад присвояването, че \[\forall\;x \in \left((a,b) \right):x > (x_0) \Rightarrow f \left(x \right ) > f\left(((x_0)) \right);\] \[\forall\;x \in \left((a,b) \right):x
Вижте достатъчно ум , тогава. zvorotne твърдост.
Нехай лоши \(f"\left(x \right)\) функции \(y = f\left(x \right)\) не се виждат в интервала \(\left((a,b) \right): \ ) \ Където \((x_1)\) и \((x_2)\) − две пълни точки от дадения интервал, така че \((x_1) Теореми на Лагранжможете да напишете: \ de \(c \in \left[((x_1),(x_2)) \right],\;\; \Rightarrow c \in \left((a,b) \right).\)Oskіlki \(f"\left(c \right) \ge 0,\) тогава правата на частта не са равни. Освен това \ тогава функцията \(y = f\left(x \right)\) нараства интервалът \ (\left((a,b)\right).\)
Нека сега да погледнем водопада суров растеж і тежко падане функции. Тук теоремата е подобна, която описва необходимите знания. Пропускайки доказателството, можем да формулираме за vipadu строго нарастваща функция.
Теорема 2 .
За да може функцията да бъде диференцирана на интервалите \(\left((a,b) \right)\) строго растящ през какъв интервал е необходимо и достатъчно, за да бъдат спечелени такива умове:\(f"\left(x \right) \ge 0\;\forall\;x \in \left((a,b) \right);\)
Pokhіdna \(f"\left(x \right)\) също не е равно на нула в същата празнина \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right] \in \left((a,b ) \ правилно ).\)
Наистина (когато се знаят интервалите на монотонност) звучи победоносно достатъчно ум или тежко падане функции. От теоремата \(2\) можем да видим следната формула за достатъчен знак:
По същия начин, за всички (x \in \left((a,b) \right)\) умът печели \(f"\left(x \right) > 0\) навсякъде в интервала \(\left((a ,b) ) \right),\) ако има повече от 10 възможни точки, в които \(f"\left(x \right) = 0,\), тогава функцията \(f\left(x \right) \) е строго растящ .
Видно, Умова \(f"\left(x \right) суворо отшумяватфункция.
Броят на точките, в които \(f"\left(x \right) = 0,\) е, като правило, е ограничаващ. Като правило, до теоремата \(2\), те не могат да надценяват никакви празнина в интервала \( \left((a,b)\right).\)
Посочваме и знака за силно увеличение (промяна) на функцията в точката:
Теорема 3 .
Хайде \((x_0) \in \left((a,b) \right).\)Ако \(f"\left(((x_0)) \right) > 0\), тогава функцията \(f\left(x \right)\) стриктно нараства в точката \((x_0)\);
Yakscho \(f"\left(((x_0)) \right)
Доминиране на монотонни функции
Нарастващите и намаляващите функции може да имат много алгебрична сила, която може да изглежда несъвместима с последователните функции. Pererakhuemo deakí z тях:
нарастващмежду \(X\) , така че за всяко \(x_1, x_2\в X\), такова че \(x_1 Функцията се извиква непадане \(\blacktriangleright\) Извиква се функцията \(f(x)\). затихванемежду \(X\) , така че за всяко \(x_1, x_2\в X\), такова че \(x_1 Функцията се извиква не-растежмежду \(X\) , така че за всяко \(x_1, x_2\в X\), такова че \(x_1 \(\blacktriangleright\) Извикват се нарастващи и намаляващи функции суворо монотонен, а не нарастваща и неутрална - просто монотонен. \(\blacktriangleright\) Основни правомощия: азТъй като функцията \(f(x)\) е строго монотонна върху \(X\) , тогава \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\)) следва \(f(x_1)= f (x_2)\), i в същото време. Пример: функцията \(f(x)=\sqrt x\) е строго нарастваща за всички \(x\in \), така че равно \(x^2=9\) може да не е повече от едно решение за всеки интервал , но по-точно едно: \ (x = -3 \). функцията \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) е строго нарастваща за всички \(x\in (-1;+\infty)\), така че \(-\dfrac 1(x +1) = 0 \) може да има малко повече решение за това междинно или по-скоро правилното, защото книгата с номера на лявата част никога не може да достигне нула. ІІІ.По същия начин функцията \(f(x)\) - не намалява (не нараства) и не прекъсва при връщане \(\) , освен това в края на връщането не увеличава стойността \(f( a)=A, f(b)=B\) , тогава за \(C\in \) (\(C\in \) ) решението \(f(x)=C\) винаги трябва да бъде едно и също решение . Пример: функцията \(f(x)=x^3\) е строго нарастваща (т.е. строго монотонна) и непрекъсната за всички \(x\in\mathbb(R)\), така че каквото и да е \(C\in ( -\infty;+\infty)\) равно на \(x^3=C\) може да бъде равно на едно решение: \(x=\sqrt(C)\) . Централен офис 1 #3153 Ден на Riven: По-лесно ЯЖТЕ може да са точно два корена. Нека пренапишем равенството на гледащия: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]Нека да разгледаме функцията \(f(t)=t^3+t\) . След това препишете на мерника: Следвайте функцията (f(t)). \ Отново, функцията \(f(t)\) нараства за всички \(t\). Отново стойността на кожата на функцията \(f(t)\) дава една стойност на аргумента \(t\). Otzhe, за да shchob rivnyannya малко корен, е необходимо: \
За да има няколко равни два корена, е необходимо, така че його дискриминантът да е положителен: \
Внушение: \(\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)\) Мениджър 2 #2653 Rivne zavdannya: късмет EDI Намерете стойностите на параметъра \(a\) за всяко равно \
може да има два корена. (Завданя под формата на предплатители.) Нека го променя: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Todi равен в бъдещето гледам: \
Нека да разгледаме функцията \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Тоди нашата ревност в бъдеще гледам: \ Знаем, че ще отида \
С уважение, \(w\ne 0\) е подобно на \(f"(w)>0\) , така че \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . , че функцията Самият \(f(w)\) се присвоява за всички \(w\). расте върху всичко \(\mathbb(R)\). \
За да даде два равни корена, той може да бъде квадратен и дискриминантът може да бъде положителен: \[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]
Внушение: \((-\infty;1)\чаша(1;2)\) Централен офис 3 #3921 Rivne zavdannya: късмет EDI Намерете всички положителни стойности на параметъра \(a\) , за всяко равно може да бъде поне (2) решение. Прехвърляме всички допълнения, кои да отмъстим \ (ax \) , отляво и кои да отмъстим \ (x ^ 2 \) - вдясно и погледнем функцията Todi vihіdne rívnyannya nabude гледам: Хайде да се изгубим: защото \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos(2t) \geqslant 0\), след това \(f"(t)\geqslant 0\) за каквото и да е \(t\in \mathbb(R)\) . Освен това \(f"(t)=0\) , така че \((t-2)^2=0\) и \(1+\cos(2t)=0\) едновременно, което не брои за същото време \ ( t\) Също така, \(f"(t)> 0\) за каквото и да е \(t\in \mathbb(R)\) . По този начин функцията \(f(t)\) е строго нарастваща за всички \(t\в \mathbb(R)\). Също така, равно \(f(ax)=f(x^2)\) е равно на по-силно равно \(ax=x^2\) . Уравнение \(x^2-ax=0\) с \(a=0\) може да има един корен \(x=0\) , а с \(a\ne 0\) може да има два различни корена \ (x_1=0 \) и \(x_2=a\) . Внушение: \((0;+\infty)\) . Централен офис 4 #1232 Rivne zavdannya: късмет EDI Намерете текущата стойност на параметъра \(a\) с кожата z \
има само едно решение. Умножаване на дясната и лявата част на уравнението по \(2^(\sqrt(x+1))\) (защото \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) : \
Нека да разгледаме функцията \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\)за \(t\geqslant 0\) (защото \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ). Похидна \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\вдясно)\). защото \(2^t>0, \ dfrac(1)(t+2)>0, \ ln((t+2))>0\)за всички \(t\geqslant 0\) , тогава \(y"<0\)
при всех \(t\geqslant 0\)
. Освен това за \(t\geqslant 0\) функцията \(y\) се променя монотонно. Подравняването може да се види в \(y(t)=y(z)\) , de \(z=ax, t=sqrt(x+1)\) . Поради монотонността на функцията е очевидно, че еквивалентността е възможна само в този случай, като (t = z). Otzhe, равно равно по-силно равно: \(ax=\sqrt(x+1)\) , като система с равно: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\] Когато \(a=0\) системата може да реши един проблем \(x=-1\), но удовлетворява ума \(ax\geqslant 0\). Нека да разгледаме vipadok \(a\ne 0\) . Дискриминант на първото изравняване на системата \(D=1+4a^2>0\) за всички \(a\) . Otzhe, равен zavzhd maє два корена \(x_1\) и \(x_2\), освен това, вонята на различни знаци (защото зад теоремата на Виет) \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\)
). Це означава, че когато (а<0\)
условию \(ax\geqslant 0\)
подходит отрицательный корень, при \(a>0\) помислете за положителен корен. От една и съща система може да има само едно решение. Средно \(a\в \mathbb(R)\) . Внушение: \(a\в \mathbb(R)\) . Централен офис 5 #1234 Rivne zavdannya: късмет EDI Намерете текущата стойност на параметъра \(a\) с кожата z \
може да искате да използвате един корен от vídrіzka \([-1;0]\) . Нека да разгледаме функцията \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\)с фиксирана фиксирана (a) . Ние знаем нейната похидна: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\). С уважение, \(f"(x)\geqslant 0\) за всички стойности на \(x\) и \(a\) \(a=1\): По-късно, за всички \(a\ne 1\) функции \(f(x)\) са строго нарастващи, по-късно, равни \(f(x)=0\) могат да имат не повече от един корен. Променяйки степента на кубичната функция, графиката \ (f (x) \) с някои фиксирани \ (a \) изглежда така: Otzhe, schob r_vnyannya little korín z vídrízka \([-1;0]\) , е необходимо: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\] Също така \(a\in [-2;0]\) . Внушение: \ (a \ в [-2; 0] \) . Централен офис 6 #2949 Rivne zavdannya: късмет EDI Намерете текущата стойност на параметъра \(a\) с кожата z \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\] може да се корени. (Завданя за предплатили) ODZ равно: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Otzhe, за да бъде равен малко коренче, е необходимо да искате да бъдете равен \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(abo)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2) = 0 \]малко решение за ODZ. 1) Нека първо да го разгледаме \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &sin x=2a+ 2 \\ \x=3\ \end(подравнено) \end(gathered)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Dane се дължи на майката на корена на \(\). Нека да разгледаме: В този ранг смятаме, че за всеки \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) има едно решение, но за всички останали - не решение. Otzhe, при \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\) Rivnyannya maє rozvyazki. 2) Нека се погледнем \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\] Нека да разгледаме функцията \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\). Ние знаем нейната похидна: \
Може да има една нула на ODZ: \(x=\frac34\) , което е максималната точка на функцията \(f(x)\) . Otzhe, schob r_vnyannya малко rozvyazannya, необходимо е, schob графика \(f(x)\) изместена от правата линия \(y=-a\) (една от най-често срещаните опции е показана на малката). Tobto е необходимо, ридае \
. Когато tsikh (x) : Функцията \(y_1=sqrt(x-1)\) е строго нарастваща. Графиката на функцията \(y_2=5x^2-9x\) е парабола, чийто връх се намира в точката \(x=\dfrac(9)(10)\). Освен това за всички \(x\geqslant 1\) функцията \(y_2\) също е строго нарастваща (параболата е дясна). защото сумата от строго нарастващи функции е строго нарастваща, тогава (f_a(x)) е строго нарастваща (константата (3a + 8) не влияе върху монотонността на функцията). Функцията \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) с всички \(x\geqslant 1\) е дясната част от дясната ръка на хиперболата и е строго намаляваща. Пресичане на прави \(f_a(x)=g_a(x)\) - означава да знаете точките на промяна на функциите \(f\) и \(g\). От тяхната protilezhnoy монотонност vyplivaê, scho еднаква майка не може да бъде повече от един корен. За (x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 \\чаша Внушение: \(a\in(-\infty;-1]\чаша)
Освен това равенството \(f(t)=f(u)\) е възможно или по-малко от \(t=u\) . Нека се обърнем към кочаните на промяната и rozv'yazhemo otrimane rivnyannya:
\
\
\
Необходимо е да знаем значението на \(a\) , за такива равни матими има не по-малко от два корена, стойностите \(a\u003e 0\) също са равни.
Otzhe, vidpovid: (a в (0; + infty)) .
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Стрелка надясно f(x)=2(x-1)^3 \Стрелка надясно\)равен \(2(x-1)^3=0\) може да има един корен \(x=1\), което не удовлетворява ума. Освен това \(a\) не може да съвпада с \(1\) .
С уважение, (f(0)=f(1)=0) . Отново, схематично, графиката (f(x)) изглежда така: 
