Імовірність настання події в деякому випробуванні дорівнює відношенню , де:
Загальна кількість всіх рівноможливих, елементарних результатів даного випробування, які утворюють повну групу подій;
Кількість елементарних наслідків, що сприяють події .
Завдання 1
У урні знаходиться 15 білих, 5 червоних та 10 чорних куль. Навмання витягується 1 куля, знайти ймовірність того, що вона буде: а) білим, б) червоним, в) чорним.
Рішення: найважливішою передумовою для використання класичного визначення ймовірності є можливість підрахунку загальної кількості результатів.
Всього в урні: 15 + 5 + 10 = 30 куль, і, очевидно, справедливі такі факти:
Вилучення будь-якої кулі однаково можливе (рівноможливістьрезультатів), при цьому результати елементарні і утворюють повну групу подій (тобто в результаті випробування обов'язково буде вилучено якусь одну з 30-ти куль).
Таким чином, загальна кількість результатів:
Розглянемо подію: - з урни буде вилучено білу кулю. Цій події сприяють елементарних результатів, тому за класичним визначенням: 
- ймовірність того, що з урни буде вилучено білу кулю.
Як не дивно, навіть у такому простому завданні можна припустити серйозної неточності. Де тут підводний камінь? Тут некоректно міркувати, що «якщо половина куль білі, то ймовірність вилучення білої кулі » . У класичному визначенні ймовірності йдеться про ЕЛЕМЕНТАРНИХрезультатах, і дріб слід обов'язково прописати!
З іншими пунктами аналогічно розглянемо такі події:
З урни буде вилучено червону кулю;
- з урни буде вилучено чорну кулю.
Події сприяє 5 елементарних наслідків, а події - 10 елементарних наслідків. Таким чином, відповідні ймовірності: 
Типова перевірка багатьох завдань по терверу здійснюється за допомогою теореми про суму ймовірностей подій, що утворюють повну групу. У разі події утворюють повну групу, отже, сума відповідних ймовірностей повинна обов'язково дорівнювати одиниці: .
Перевіримо, чи це так: , у чому й хотілося переконатися.
Відповідь: 
На практиці поширений «швидкісний» варіант оформлення рішення:
Усього: 15 + 5 + 10 = 30 куль в урні. За класичним визначенням:
- ймовірність того, що з урни буде вилучено білу кулю;
- ймовірність того, що з урни буде вилучено червону кулю;
- ймовірність того, що з урни буде вилучено чорну кулю.
Відповідь:
Завдання 2
До магазину надійшло 30 холодильників, п'ять із яких мають заводський дефект. Випадково вибирають один холодильник. Якою є ймовірність того, що він буде без дефекту?
Завдання 3
Набираючи номер телефону, абонент забув дві останні цифри, але пам'ятає, що одна з них – нуль, а інша – непарна. Знайти ймовірність, що він набере правильний номер.
Примітка: нуль - це парне число (ділиться на 2 без залишку)
Рішення: спочатку знайдемо загальну кількість результатів За умовою абонент пам'ятає, що одна з цифр - нуль, а інша цифра - непарна. Тут раціональніше не мудрувати з комбінаторикоюта скористатися методом прямого перерахування результатів . Тобто при оформленні рішення просто записуємо всі комбінації:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90
І підраховуємо їх – всього: 10 результатів.
Сприятливий результат один: правильний номер.
За класичним визначенням: 
- ймовірність того, що абонент набере правильний номер
Відповідь: 0,1
Просунуте завдання для самостійного вирішення:
Завдання 4
Абонент забув пін - код до своєї сім-карти, проте пам'ятає, що він містить три «п'ятірки», а одна з цифр - чи то «сімка», чи то «вісімка». Якою є ймовірність успішної авторизації з першої спроби?
Тут ще можна розвинути думку про можливість того, що абонента чекає автомобіля у вигляді пук-коду, але, на жаль, міркування вже вийдуть за рамки даного уроку
Рішення та відповідь внизу.
Іноді перерахування комбінацій виявляється дуже кропітким заняттям. Зокрема, так справи в наступній, не менш популярній групі завдань, де підкидаються 2 гральні кубики. (рідше - більша кількість):
Завдання 5
Знайти ймовірність того, що при киданні двох гральних кісток у сумі випаде:
а) п'ять очок;
б) не більше чотирьох очок;
в) від 3 до 9 очок включно.
Рішення: знайдемо загальну кількість результатів:
Способами може випасти грань 1-го кубика іспособами може випасти грань 2 кубика; по правилу множення комбінацій, всього: 
можливі комбінації. Іншими словами, кожнагрань 1-го кубика може скласти впорядковану пару з кожноюгранню 2-го кубика. Умовимося записувати таку пару у вигляді , де цифра, що випала на 1-му кубику, - цифра, що випала на 2-му кубику.
Наприклад:
На першому кубику випало 3 очки, на другому – 5 очок, сума очок: 3 + 5 = 8;
- на першому кубику випало 6 очок, на другому – 1 очко, сума очок: 6 + 1 = 7;
- на обох кістках випало 2 очки, сума: 2+2=4.
Очевидно, що найменшу суму дає пара, а найбільшу – дві «шістки».
а) Розглянемо подію: - при киданні двох гральних кісток випаде 5 очок. Запишемо та підрахуємо кількість наслідків, які сприяють даній події:
Разом: 4 сприятливих результатів. За класичним визначенням:
- Шукана ймовірність.
б) Розглянемо подію: - випаде трохи більше 4-х очок. Тобто або 2, або 3, або 4 очки. Знову перераховуємо і підраховуємо сприятливі комбінації, зліва я записуватиму сумарну кількість очок, а після двокрапки - відповідні пари: 
Разом: 6 сприятливих комбінацій. Таким чином:
- Імовірність того, що випаде не більше 4-х очок.
в) Розглянемо подію: - Випаде від 3-х до 9 очок включно. Тут можна піти прямою дорогою, але... щось не хочеться. Так, деякі пари вже перераховані в попередніх пунктах, але роботи все одно доведеться забагато.
Як краще вчинити? У подібних випадках раціональним виявляється манівець. Розглянемо протилежна подія: - випаде 2 або 10 або 11 чи 12 очок.
В чому сенс? Протилежній події сприяє значно менша кількість пар:
Разом: 7 сприятливих результатів.
За класичним визначенням:
- Імовірність того, що випаде менше трьох або більше 9-ти очок.
Особливо акуратні люди можуть перерахувати всі 29 пар, виконавши тим самим перевірку.
Відповідь: 
У наступному завданні повторимо таблицю множення:
Завдання 6
Знайти ймовірність того, що при кидку двох гральних кісток твір очок:
а) дорівнюватиме семи;
б) виявиться не менше 20-ти;
в) буде парним.
Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.
Завдання 7
До ліфту 20-поверхового будинку на першому поверсі зайшли 3 особи. І поїхали. Знайти ймовірність того, що:
а) вони вийдуть різних поверхах;
б) двоє вийдуть одному поверсі;
в) усі вийдуть на одному поверсі.
Рішення: обчислимо загальну кількість результатів: способами може вийти з ліфта 1-й пасажир іспособами - 2-й пасажир іспособами – третій пасажир. За правилом множення комбінацій: можливих результатів. Тобто, коженповерх виходу 1-ї людини може комбінуватися з кожнимповерхом виходу 2-ї людини та з кожнимповерхом виходу 3-ї особи.
Другий спосіб заснований на розміщення з повтореннями:
- Кому як зрозуміліше.
а) Розглянемо подію: - пасажири вийдуть різних поверхах. Обчислимо кількість сприятливих результатів: 
способами можуть вийти 3 пасажири на різних поверхах. Міркування за формулою проведіть самостійно.
За класичним визначенням: 
в) Розглянемо подію: - пасажири вийдуть одному поверсі. Даній події сприяють наслідкам і за класичним визначенням, відповідна ймовірність: 
.
Заходимо з чорного ходу:
б) Розглянемо подію: - дві людини вийдуть на одному поверсі (і, відповідно, третій – на іншому).
Події утворюють повну групу (вважаємо, що в ліфті ніхто не засне і ліфт не застрягне, а значить, .
В результаті шукана ймовірність:
Таким чином, теорема про складання ймовірностей подій, що утворюють повну групу, може бути не тільки зручною, але і стати справжнісінькою паличкою-виручалочкою!
Відповідь:
Коли виходять великі дроби, то гарним тоном вказатиме їх наближені десяткові значення. Зазвичай округляють до 2-3-4 знаків після коми.
Оскільки події пунктів «а», «бе», «ве» утворюють повну групу, тобто сенс виконати контрольну перевірку, причому краще з наближеними значеннями:
Що й потрібно було перевірити.
Іноді через похибки округлень може вийти 0,9999 чи 1,0001, у разі одне з наближених значень слід «підігнати» те щоб у сумі намалювалася «чиста» одиниця.
Самостійно:
Завдання 8
Підкидається 10 монет. Знайти ймовірність того, що:
а) на всіх монетах випаде орел;
б) на 9 монетах випаде орел, а на одній – решка;
в) орел випаде на половині монет.
Завдання 9
На семимісцеву лаву випадково розсаджується 7 осіб. Яка ймовірність того, що дві певні особи виявляться поруч?
Рішення: із загальною кількістю результатів проблем не виникає:
способами можуть розсістись 7 осіб на лавці.
Але як підрахувати кількість сприятливих результатів? Тривіальні формули не підходять і єдиний шлях – це логічні міркування. Спочатку розглянемо ситуацію, коли Сашко та Маша опинилися поряд на лівому краю лави: 
Очевидно, що порядок має значення: зліва може сидіти Сашко, праворуч Маша і навпаки. Але це ще не все - для кожногоіз цих випадків інші люди можуть розсістися на вільних місцях методами. Висловлюючись комбінаторно, Сашу та Машу можна переставити на сусідніх місцях засобами ідля кожної такої перестановки інших можна переставити способами.
Таким чином, за правилом множення комбінацій, виходить сприятливих результатів.
Але це ще не все! Перелічені факти справедливі для кожногопари сусідніх місць: 
Цікаво відзначити, що якщо лаву «округлити» (з'єднуючи ліве та праве місце), то утворюється додаткова, сьома пара сусідніх місць. Але не відволікатимемося. Відповідно до того ж принципу множення комбінацій, отримуємо остаточну кількість сприятливих результатів:
За класичним визначенням: 
- ймовірність того, що дві певні людини виявляться поруч.
Відповідь:
Завдання 10
На шахівницю з 64 клітин ставлять навмання дві човни білого і чорного кольору. З якою ймовірністю вони не «бититимуть» один одного?
Довідка: шахова дошка має розмір клітин; чорна та біла човни «б'ють» один одного, коли розташовуються на одній горизонталі або на одній вертикалі
Обов'язково виконайте схематичне креслення дошки, а ще краще, якщо неподалік є шахи. Одна справа міркування на папері, і зовсім інша – коли розставляєш постаті власноруч.
Завдання 11
Якою є ймовірність того, що в чотирьох зданих картах буде один туз і один король?
Обчислимо загальну кількість результатів. Скільки способами можна витягти 4 карти з колоди? Напевно, всі зрозуміли, що йдеться про кількості поєднань:
способами можна вибрати 4 карти з колоди.
Тепер вважаємо сприятливі наслідки. За умовою, у вибірці з 4-х карток має бути один туз, один король і, про що не сказано відкритим текстом, - дві інші карти:
Способами можна витягти одного туза;
способами можна вибрати одного короля.
Виключаємо з розгляду тузів та королів: 36 – 4 – 4 = 28
способами можна витягти дві інші карти.
За правилом множення комбінацій:
методами можна отримати потрібну комбінацію карт (1-го туза і 1-го короля ідві інші карти).
Прокоментую комбінаційний зміст запису іншим способом:
кожентуз комбінується з кожнимкоролем і з кожноюможливою парою інших карток.
За класичним визначенням: 
- Імовірність того, що серед чотирьох зданих карт буде один туз і один король.
Якщо вистачає часу та терпіння, максимально скорочуйте великі дроби.
Відповідь:
Простіша задача для самостійного вирішення:
Завдання 12
У ящику знаходиться 15 якісних та 5 бракованих деталей. Навмання витягуються 2 деталі.
Знайти ймовірність того, що:
а) обидві деталі будуть якісними;
б) одна деталь буде якісною, а одна – бракованою;
в) обидві деталі браковані.
Події наведених пунктів утворюють повну групу, тому перевірка тут напрошується сама собою. Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку. А взагалі, все найцікавіше лише починається!
Завдання 13
Студент знає відповіді на 25 екзаменаційних питань із 60-ти. Яка можливість скласти іспит, якщо для цього необхідно відповісти не менше ніж на 2 з 3-х питань?
Рішення: Отже, розклад такий: всього 60 питань, серед яких 25 «хороших» і, відповідно, 60 - 25 = 35 «поганих». Ситуація хитка і не на користь студента. Давайте дізнаємося, наскільки хороші його шанси:
способами можна вибрати 3 питання з 60-ти (Загальна кількість результатів).
Для того щоб скласти іспит, потрібно відповісти на 2 або 3 питання. Вважаємо сприятливі комбінації:
Способами можна вибрати 2 «хороші» питання іодин «поганий»;
способами можна вибрати 3 «хороших» питання.
за правилу складання комбінацій:
способами можна вибрати сприятливу для складання іспиту комбінацію 3-х питань (Без різниці з двома або трьома «хорошими» питаннями).
За класичним визначенням: 
Відповідь:
Завдання 14
Гравцю в покер здається 5 карт. Знайти ймовірність того, що:
а) серед цих карт буде пара десяток та пара валетів;
б) гравцю буде зданий флеш (5 карток однієї масті);
в) гравцю буде здано каре (4 карти одного номіналу).
Яку з перерахованих комбінацій найімовірніше отримати?
! Увага!Якщо в умові поставлене подібне питання, то на нього необхіднодати відповідь.
Довідка
: у покер традиційно грають 52-х картковою колодою, яка містить карти 4-х мастей номіналом від «двійок» до тузів.
Покер - гра сама що не є математична (хто грає, той знає), в якій можна мати помітну перевагу перед менш кваліфікованими суперниками.
Рішення та відповіді:
Завдання 2: Рішення: 30 – 5 = 25 холодильників не мають дефекту.
- Імовірність того, що навмання обраний холодильник не має дефекту.
Відповідь
:
Завдання 4: Рішення: знайдемо загальну кількість результатів:
способами можна вибрати місце, на якому розташована сумнівна цифра і на кожномуз цих 4-х місць можуть розташовуватися 2 цифри (сімка або вісімка). За правилом множення комбінацій, загальна кількість результатів: 
.
Як варіант, у рішенні можна просто перерахувати всі результати (благо їх небагато):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Сприятливий результат один (правильний пін-код).
Таким чином, за класичним визначенням:
- ймовірність того, що абонент авторизується з 1-ї спроби
Відповідь
:
Завдання 6: Рішення
Завдання 6:Рішення
: знайдемо загальну кількість результатів:
способами можуть випасти цифри на 2 кубиках.
а) Розглянемо подію:
- при кидку двох гральних кісток добуток очок буде дорівнює семи. Для цієї події не існує сприятливих результатів,
, тобто. ця подія є неможливою.
б) Розглянемо подію:
- при кидку двох гральних кісток добуток очок виявиться не менше 20-ти. Цій події сприяють такі результати:
Разом: 8
За класичним визначенням:
- Шукана ймовірність.
в) Розглянемо протилежні події:
- добуток очок буде парним;
- добуток очок буде непарним.
Перерахуємо всі результати, що сприяють події :
Разом: 9 сприятливих результатів.
За класичним визначенням ймовірності: 
Протилежні події утворюють повну групу, тому:
- Шукана ймовірність.
Відповідь
:
Завдання 8:Рішення
способами можуть впасти 2 монети.
Інший шлях: методами може впасти перша монетаі способами може впасти друга монетаі …
і способами може впасти десята монета. За правилом множення комбінацій, 10 монет можуть впасти 
методами.
а) Розглянемо подію: - на всіх монетах випаде орел. Цій події сприяє єдиний результат, за класичним визначенням ймовірності: .
б) Розглянемо подію: – на 9 монетах випаде орел, а на одній – решка.
Існує монет, у яких може випасти решка. За класичним визначенням ймовірності: 
.
в) Розглянемо подію: - орел випаде на половині монет.
Існує 
унікальних комбінацій із п'яти монет, на яких може випасти орел. За класичним визначенням ймовірності: 
Відповідь:
Завдання 10:Рішення
: обчислимо загальну кількість результатів:
способами можна розставити двох човнів на дошці.
Інший варіант оформлення: 
способами можна вибрати дві клітинки шахівниціі
способами поставити білу та чорну турув кожному
із 2016 випадків. Таким чином, загальна кількість результатів: .
Тепер підрахуємо результати, в яких човни б'ють один одного. Розглянемо першу горизонталь. Очевидно, що фігури можна розставити на ній довільним чином, наприклад:
Крім того, тур можна переставити. Надаємо міркуванням числову форму: 
способами можна вибрати дві кліткиі способами переставити човнівв кожномуіз 28 випадків. Всього: 
можливих розташування фігур на горизонталі.
Коротка версія оформлення: способами можна розмістити білу та чорну туру на 1-й горизонталі.
Проведені міркування справедливідля кожного
горизонталі, тому кількість комбінацій слід помножити на вісім:
. Крім того, аналогічна історія є справедливою для будь-якої з восьми вертикалей. Обчислимо підсумкову кількість розстановок, у яких постаті «б'ють» одна одну:
Тоді в варіантах розміщення човни не «бити» один одного:
4032 - 896 = 3136
За класичним визначенням ймовірності:
- Імовірність того, що навмання поставлені на дошку біла і чорна тура не будуть "бити" один одного.
Відповідь :
Завдання 12:Рішення
: всього: 15 + 5 = 20 деталей у ящику. Обчислимо загальну кількість результатів:
способами можна витягти 2 деталі із ящика.
а) Розглянемо подію: - Обидві витягнуті деталі будуть якісними.
способами можна витягти 2 якісні деталі.
За класичним визначенням ймовірності: 
б) Розглянемо подію: - одна деталь буде якісною, а одна – бракованою.
способами можна отримати 1 якісну детальі1 браковану.
За класичним визначенням: 
в) Розглянемо подію: - Обидві вилучені деталі браковані.
способами можна витягти 2 браковані деталі.
За класичним визначенням: 
Перевірка: обчислимо суму ймовірностей подій, що утворюють повну групу: , Що і потрібно перевірити.
Відповідь:
А зараз візьмемо в руки вже знайоме та безвідмовне знаряддя навчання – гральний кубик з повною групою подій 
, які полягають у тому, що з його кидку випадуть 1, 2, 3, 4, 5 і 6 очок відповідно.
Розглянемо подію – в результаті кидка гральної кістки випаде не менше п'яти очок. Ця подія полягає у двох несумісних наслідках: (випаде 5 або 6 очок)
- Імовірність того, що в результаті кидка гральної кістки випаде не менше п'яти очок.
Розглянемо подію, що полягає в тому, що випаде не більше 4-х очок і знайдемо її ймовірність. За теоремою складання ймовірностей несумісних подій:
Можливо, деякі читачі ще не до кінця усвідомили сутьнесумісності. Вдумаємося ще раз: студент не може відповісти на 2 питання з 3-х і в той же часвідповісти на всі 3 питання. Таким чином, події і – несумісні.
Тепер, користуючись класичним визначенням, знайдемо їх ймовірності:
Факт успішного складання іспиту виражається сумою (Відповідь на 2 питання з 3-х абона всі питання). За теоремою складання ймовірностей несумісних подій: 
- Імовірність того, що студент здасть іспит.
Цей спосіб вирішення абсолютно рівноцінний, вибирайте, який більше подобається.
Завдання 1
Магазин отримав продукцію в ящиках з чотирьох оптових складів: чотири з 1-го, п'ять із 2-го, сім з 3-го та чотири з 4-го. Випадково обрано ящик для продажу. Яка ймовірність того, що це буде скринька з першого чи третього складу.
Рішення: всього отримано магазином: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 ящиків.
У цьому завдання зручніше скористатися «швидким» способом оформлення без розписування подій великими латинськими літерами. За класичним визначенням:
- ймовірність того, що для продажу буде обрано скриньку з 1-го складу;
- Імовірність того, що для продажу буде обрано ящик з 3-го складу.
За теоремою складання несумісних подій:
- ймовірність того, що для продажу буде обрано скриньку з першого або третього складу.
Відповідь: 0,55
Безумовно, завдання можна розв'язати і чисто через класичне визначення ймовірностішляхом безпосереднього підрахунку кількості сприятливих результатів (4 + 7 = 11), але розглянутий спосіб нічим не гірше. І навіть чіткіше.
Завдання 2
У коробці 10 червоних та 6 синіх гудзиків. Навмання витягуються два гудзики. Яка ймовірність того, що вони будуть одноколірними?
Аналогічно – тут можна використовувати комбінаторне правило суми, але мало ... раптом хтось його забув. Тоді на допомогу прийде теорема складання ймовірностей несумісних подій!
Подобається нам це чи ні, але наше життя сповнене всіляких випадків, як приємних так і не дуже. Тому кожному з нас не завадило б знати, як знайти ймовірність тієї чи іншої події. Це допоможе приймати правильні рішення за будь-яких обставин, які пов'язані з невизначеністю. Наприклад, такі знання будуть дуже доречними при виборі варіантів інвестування, оцінці можливості виграшу в акції або лотереї, визначенні реальності досягнення особистих цілей і т.д., і т.п.
Формула теорії ймовірності
В принципі, вивчення цієї теми не займає надто багато часу. Щоб отримати відповідь на запитання: "Як знайти ймовірність будь-якого явища?", потрібно розібратися з ключовими поняттями і запам'ятати основні принципи, на яких базується розрахунок. Отже, згідно зі статистикою, події, що досліджуються, позначаються через A1, А2,..., An. У кожного є як сприятливі результати (m), і загальна кількість елементарних результатів. Наприклад, нас цікавить, як знайти ймовірність того, що на верхній грані кубика виявиться парна кількість очок. Тоді А - це кидок m - випадання 2, 4 або 6 очок (три сприятливі варіанти), а n - це всі шість можливих варіантів.
Сама ж формула розрахунку виглядає так:
З одним результатом все дуже легко. А ось як знайти ймовірність, якщо події йдуть одна за одною? Розглянемо такий приклад: з карткової колоди (36 шт.) Показується одна карта, потім вона ховається знову в колоду, і після перемішування витягується наступна. Як визначити можливість того, що хоча в одному випадку була витягнута жінка пік? Існує таке правило: якщо розглядається складна подія, яку можна розділити на кілька несумісних простих подій, то можна розрахувати результат для кожного з них, а потім скласти їх між собою. У нашому випадку це буде виглядати так: 1/36 + 1/36 = 1/18. А як бути тоді, коли дещо відбуваються одночасно? Тоді результати множимо! Наприклад, ймовірність того, що при одночасному підкиданні відразу двох монет випадуть дві решки, дорівнюватиме: ½ * ½ = 0.25.
Тепер візьмемо ще складніший приклад. Припустимо, ми потрапили на книжкову лотерею, де з тридцяти квитків десять є виграшними. Потрібно визначити:
- Імовірність того, що обидва виявляться виграшними.
- Хоча б один із них принесе приз.
- Обидва виявляться програшними.
Отже, розглянемо перший випадок. Його можна розбити на дві події: перший квиток буде щасливим і другий також виявиться щасливим. Врахуємо, що події залежать, оскільки після кожного витягування загальна кількість варіантів зменшується. Отримуємо:
10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.
У другому випадку знадобиться визначити ймовірність програшного квитка та врахувати, що він може бути як першим за рахунком, так і другим: 10/30*20/29+20/29*10/30=0,4598.
Нарешті, третій випадок, коли з розіграної лотереї навіть однієї книжки отримати не вийде: 20/30*19/29 = 0,4368.
Коли кидається монета, можна сказати, що вона впаде орлом нагору, або ймовірність цього становить 1/2. Звичайно, це не означає, що якщо монета підкидається 10 разів, вона обов'язково впаде вгору орлом 5 разів. Якщо монета є "чесною" і якщо вона підкидається багато разів, то орел випаде дуже близько половини випадків. Таким чином, існує два види ймовірностей: експериментальна і теоретична .
Експериментальна та теоретична ймовірність
Якщо кинути монетку багато разів - скажімо, 1000 - і порахувати, скільки разів випаде орел, ми можемо визначити ймовірність того, що випаде орел. Якщо орел випаде 503 рази, ми можемо вважати ймовірність його випадання:
503/1000, або 0,503.
Це експериментальне визначення ймовірності. Таке визначення ймовірності випливає із спостереження та вивчення даних і є досить поширеним та дуже корисним. Ось, наприклад, деякі ймовірності, які були визначені експериментально:
1. Імовірність того, що у жінки розвинеться рак молочної залози становить 1/11.
2. Якщо ви цілуєтеся, з кимось, хто хворий на застуду, то ймовірність того, що ви теж захворієте на застуду, становить 0,07.
3. Людина, яка щойно була звільнена з в'язниці, має 80% ймовірності повернення назад до в'язниці.
Якщо ми розглядаємо кидання монети і враховуючи те, що так само ймовірно, що випаде орел або решка, ми можемо обчислити ймовірність випадання орла: 1/2. Це теоретичне визначення ймовірності. Ось деякі інші ймовірності, які були визначені теоретично за допомогою математики:
1. Якщо знаходиться 30 осіб у кімнаті, ймовірність того, що двоє мають однаковий день народження (виключаючи рік), становить 0,706.
2. Під час поїздки, Ви зустрічаєте когось і протягом розмови виявляєте, що у вас є спільний знайомий. Типова реакція: "Цього не може бути!" Насправді ця фраза не підходить, тому що ймовірність такої події досить висока – трохи більше ніж 22%.
Таким чином, експериментальна ймовірність визначаються шляхом спостереження та збору даних. Теоретичні ймовірності визначаються шляхом математичних міркувань. Приклади експериментальних і теоретичних ймовірностей, як, наприклад, розглянутих вище, і особливо тих, які ми не очікуємо, призводять нас до ваеності вивчення ймовірності. Ви можете запитати: "Що таке вірогідність?" Насправді такої немає. Експериментально можна визначити ймовірність у певних межах. Вони можуть збігатися або не збігатися з ймовірностями, які ми маємо теоретично. Є ситуації, у яких набагато легше визначити один із типів ймовірності, ніж інший. Наприклад, було б досить знайти можливість застудитися, використовуючи теоретичну можливість.
Обчислення експериментальних ймовірностей
Розглянемо спочатку експериментальне визначення ймовірності. Основний принцип, який ми використовуємо для обчислення таких ймовірностей, є таким.
Принцип P (експериментальний)
Якщо досвіді, у якому проводиться n спостережень, ситуація чи подія Е відбувається m разів за n спостережень, то кажуть, що експериментальна ймовірність події дорівнює P (E) = m/n.
Приклад 1 Соціологічне опитування. Було проведено експериментальне дослідження, щоб визначити кількість шульг, правшів та людей, у яких обидві руки розвинені однаково. Результати показані на графіку.
a) Визначте ймовірність того, що людина – правша.
b) Визначте ймовірність того, що людина – шульга.
c) Визначте можливість, що людина однаково вільно володіє обома руками.
d) У більшості турнірів, що проводяться Професійною Асоціацією Боулінгу, беруть участь 120 гравців. На підставі даних цього експерименту, скільки гравців можуть бути лівшою?
Рішення
a)Кількість людей, які є правшами, становить 82, кількість шульг становить 17, а число тих, хто однаково вільно володіє двома руками - 1. Загальна кількість спостережень - 100. Таким чином, ймовірність того, що людина правша, є Р
P = 82/100, чи 0,82, чи 82%.
b) Імовірність того, що людина шульга є Р, де
P = 17/100, чи 0,17, чи 17%.
c) Імовірність того, що людина однаково вільно володіє двома руками складає P де
P = 1/100, або 0,01 або 1%.
d) 120 гравців у боулінг, і з (b) ми можемо очікувати, що 17% - шульги. Звідси
17% від 120 = 0,17.120 = 20,4,
тобто ми можемо очікувати, що близько 20 гравців є шульгами.
Приклад 2 Контроль якості
. Для виробника дуже важливо тримати якість своєї продукції на найвищому рівні. Насправді компанії наймають інспекторів контролю якості для забезпечення цього процесу. Метою є випуск мінімально можливої кількості дефектних виробів. Але оскільки компанія виробляє тисячі виробів щодня, вона може дозволити собі перевіряти кожен виріб, щоб визначити, браковане воно чи ні. Щоб з'ясувати, який відсоток продукції дефектний, компанія перевіряє набагато менше виробів.
Міністерство сільського господарства США вимагає, щоб 80% насіння, яке продають виробники, проростало. Для визначення якості насіння, яке виробляє сільгоспкомпанія, висаджується 500 насіння з тих, що були вироблені. Після цього підрахували, що 417 насінин проросло.
a) Яка ймовірність того, що насіння проросте?
b) Чи відповідає насіння державним стандартам?
Рішення a) Ми знаємо, що з 500 насіння, яке було висаджено, 417 проросли. Імовірність проростання насіння Р, та
P = 417/500 = 0,834, чи 83.4%.
b) Оскільки відсоток пророслого насіння перевищив 80% на вимогу, насіння відповідає державним стандартам.
Приклад 3 Телевізійні рейтинги Відповідно до статистичних даних, у Сполучених Штатах 105,5 млн домогосподарств з телевізорами. Щотижня, інформація про перегляд передач збирається та обробляється. Протягом одного тижня 7815 000 домогосподарств були налаштовані на популярний комедійний серіал "Всі люблять Реймонда" на CBS і 8302 000 домогосподарств були налаштовані на популярний серіал "Закон і порядок" на NBC (Джерело: Nielsen Media Research). Яка ймовірність того, що телевізор одного будинку налаштований на Everybody Loves Raymond протягом цього тижня? на Закон і порядок?
РішенняnІмовірність того, що телевізор в одному домогосподарстві налаштований на "Всі люблять Реймонда" дорівнює Р, та
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Можливість, що телевізор домогосподарства був налаштований на «Закон і порядок» складає P, та
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Ці відсотки називають рейтингами.
Теоретична ймовірність
Припустимо, що ми проводимо експеримент, такі як кидання монетки чи дротиків, витягування карти з колоди, або перевірка виробів на якість на складальній лінії. Кожен можливий результат такого експерименту називається результат . Безліч всіх можливих наслідків називається простором наслідків . Подія це безліч наслідків, тобто підмножина простору наслідків.
Приклад 4 Кидання дротиків. Припустимо, що у експерименті «метання дротиків» дротик потрапляє у мета. Знайдіть кожне з наступних:
b) Простір результатів
Рішення
a) Виходи це: потрапляння до чорного (Ч), потрапляння до червоного (К) та потрапляння до білого (Б).
b) Простір результатів є (попадання у чорне, попадання у червоне, попадання у біле), яке може бути записане просто як (Ч, К, Б).
Приклад 5 Кидання гральних кісток.
Гральна кістка це куб із шістьма гранями, на кожній з яких намальовано від однієї до шести крапок. 
Припустимо, що ми кидаємо гральну кістку. Знайдіть
a) Виходи
b) Простір результатів
Рішення
a) Виходи: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Простір результатів (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Ми позначаємо ймовірність того, що подія Е трапляється як Р(Е). Наприклад, "монета впаде решкою" можна позначати H. Тоді Р (Н) є ймовірністю того, монета впаде решкою. Коли всі результати експерименту мають однакову ймовірність появи, кажуть, що вони є рівноймовірними. Щоб побачити різницю між подіями, які є рівноймовірними, і нерівноймовірними подіями, розглянемо мету, зображену нижче. 
Для мішені A, події потрапляння до чорного, червоного та білого рівноймовірні, оскільки чорні, червоні та білі сектори – однакові. Однак, для мішені B зони з цими квітами не однакові, тобто попадання в них не є рівноймовірним.
Принцип P (теоретичний)
Якщо подія E може статися m шляхами з n можливих рівноймовірних наслідків з простору наслідків S, тоді теоретична ймовірність
події, P(E) складає
P(E) = m/n.
Приклад 6Яка можливість викинути 3, кинувши гральний кубик?
РішенняНа гральному кубику 6 рівноймовірних результатів існує лише одна можливість викидання цифри 3. Тоді ймовірність P складе P(3) = 1/6.
Приклад 7Яка можливість викидання парної цифри на гральному кубику?
РішенняПодія – це викидання парної цифри. Це може статися 3 способами (якщо випаде 2, 4 чи 6). Число рівноймовірних результатів дорівнює 6. Тоді ймовірність P(парне) = 3/6, або 1/2.
Ми будемо використовувати низку прикладів, пов'язаних зі стандартною колодою із 52 карт. Така колода складається з карток, показаних на малюнку нижче. 
Приклад 8Яка можливість витягнути туза з добре перемішаної колоди карт?
РішенняІснує 52 результати (кількість карт у колоді), вони рівноймовірні (якщо колода добре перемішана), і є 4 способи витягнути туза, тому згідно з принципом P, ймовірність
P(витягування туза) = 4/52, або 1/13.
Приклад 9Припустимо, що ми вибираємо не дивлячись, одну кульку з мішка з трьома червоними кульками і чотирма зеленими кульками. Яка ймовірність вибору червоної кульки?
РішенняІснує 7 рівноймовірних результатів дістати будь-яку кульку, і так як число способів витягнути червону кульку дорівнює 3, отримаємо
P(вибору червоної кульки) = 3/7.
Наступні твердження – це результати з принципу P.
Властивості ймовірності
a) Якщо подія E може статися, тоді P(E) = 0.
b) Якщо подія E станеться неодмінно тоді P(E) = 1.
c) Імовірність того, що подія Е станеться від 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
Наприклад, у киданні монети подія, коли монета впаде на ребро має нульову ймовірність. Можливість того, що монета або на орел або решку має можливість 1.
Приклад 10Припустимо, що витягуються 2 карти з колоди з 52 картами. Яка ймовірність того, що обидві піки?
РішенняЧисло шляхів n витягування 2 карт із добре перемішаної колоди з 52 картами є 52 C 2 . Так як 13 з 52 карт є піками, число способів m витягування 2 пік є 13 C 2 . Тоді,
P(витягування 2-х пік) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.
Приклад 11Припустимо, що 3 людини вибираються випадково з групи, що складається з 6 чоловіків і 4 жінок. Яка ймовірність того, що будуть обрані 1 чоловік та 2 жінки?
РішенняЧисло способів вибору трьох осіб із групи 10 осіб 10 C 3 . Один чоловік може бути обраний 6 C 1 способами, і 2 жінки можуть бути обрані 4 C 2 способами. Згідно з фундаментальним принципом підрахунку, число способів вибору 1-го чоловіка та 2-х жінок 6 C 1 . 4 C 2 . Тоді, ймовірність що буде обрано 1-го чоловіка та 2-х жінок є
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.
Приклад 12 Кидання гральних кубиків. Яка ймовірність викидання у сумі 8 на двох гральних кубиках?
РішенняНа кожному гральному кубику є 6 можливих наслідків. Виходи подвоюються, тобто існує 6.6 або 36 можливих способів, в якому можуть випасти цифри на двох кубиках. (Краще, якщо кубики різні, скажімо один червоний, а другий блакитний - це допоможе візуалізувати результат.) 
Пари цифр, у сумі 8, показані на малюнку внизу. Є 5 можливих способів отримання суми, що дорівнює 8, звідси ймовірність дорівнює 5/36.
Інструкція
Уважно прочитайте умову завдання. кількість сприятливих результатів та їх загальна кількість. Припустимо, необхідно вирішити наступне завдання: лежать 10 бананів, 3 з них - незрілі. Потрібно визначити, яка ймовірність того, що вийнятий навмання банан виявиться зрілим. В даному випадку для вирішення задачі необхідно застосувати класичну теорію ймовірності. Розрахуйте ймовірність за формулою: p= M/N, де:
- M – кількість сприятливих результатів,
- N – загальна кількість всіх результатів.
Розрахуйте сприятливу кількість наслідків. У разі це 7 бананів (10 - 3). Загальна кількість всіх наслідків у даному випадку дорівнює загальній кількості бананів, тобто 10. Розрахуйте ймовірність, підставивши значення формули: 7/10= 0,7. Отже, ймовірність того, що вийнятий навмання банан буде зрілим, дорівнюватиме 0,7.
Використовуючи теорему складання ймовірностей, розв'яжіть задачу, якщо її умови події у ній несумісні. Наприклад, у коробці для рукоділля лежать котушки ниток різного кольору: 3 з них із білими нитками, 1 – із зеленими, 2 – із синіми та 3 – із чорними. Потрібно визначити, яка ймовірність того, що витягнута котушка буде з кольоровими нитками (не білими). Для розв'язання цієї задачі за теоремою складання ймовірності використовуйте формулу: p=р1+р2+р3.
Визначте, скільки всього котушок лежить у коробці: 3+1+2+3=9 котушок (це загальна кількість всіх результатів). Підрахуйте ймовірність вийняти котушку: із зеленими нитками – р1 = 1/9 = 0,11, із синіми нитками – р2 = 2/9 = 0,22, з чорними нитками – р3 = 3/9 = 0,33. Складіть числа: р = 0,11+0,22+0,33 = 0,66 - ймовірність того, що витягнута котушка буде з кольоровою ниткою. Ось так, використовуючи визначення теорії ймовірності, можна вирішувати прості завдання на ймовірність.
Зверніть увагу
Для вирішення складніших завдань на ймовірність застосовується теорема множення ймовірностей, формули Лапласа, Байєса та Бернуллі, залежно від сумісності подій та кількості їх результатів в умовах цих завдань.
Джерела:
- як вирішити задачу з теорії ймовірностей
У математичній статистиці основним поняттям є можливість тієї чи іншої події.
Інструкція
Також окрім теорії множення ймовірностей теорему складання ймовірностей, визначення можливості тієї чи іншої події. Теорема говорить: "Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій." Сумою кількох подій подія, що полягає у настанні хоча б одного з них у результаті випробування. Сума всіх подій повинна дорівнювати 1 або 100%.
Відео на тему
Корисна порада
Граючи в кістки, ставте на те, що випаде сума двох кубиків, що дорівнює 7. Це обумовлено найбільшою ймовірністю випадання цієї цифри.
Ймовірністьє статистична міра можливості. Чому статистична? Тому що, з практичної точки зору, вам доведеться мати справу з безліччю (або безліччю) подій, одна або кілька з яких у певних умовах більш можливі, ніж інші. Ось це «більше» або «менше», виражене математично – і є ймовірність.
Інструкція
Класична (формула Лапласа) така:
P(A) = M/N, де
P(A) – ймовірність А
M – кількість елементарних подій, що сприяють події А
N – число всіх елементарних подій. Два найпростіші приклади. У ситуації кидання, коли потрібно розрахувати ймовірність випадання «решки» (події А), сприяє події А вона сама. Якщо ж потрібно вирахувати можливість випадання парних граней при киданні кубика, сприятливих елементарних подій буде три (оскільки можуть випасти три парних числа). Відповідно, ймовірності події А будуть 0,5 і в першому, і в другому випадках.
Ще кілька слів про можливості. Теоретично ймовірності , що відбудеться обов'язково, називається «достовірним» (ймовірність дорівнює одиниці). Протилежне достовірному - "неможлива" подія (ймовірність дорівнює нулю). Подія, яка може статися, а може і не відбутися, називається «випадковою» (імовірність події 0
Існує ще одна ймовірність (точніше кажучи, геометрична ймовірність):P(A) = Q/S, де
S – фігури, яку випадковим чином кидається точка
Q – частина площі фігури S, яку потрапляє точка.
P(A) – ймовірність попадання випадково покинутої точки на площу Q.
Джерела:
- розрахувати ймовірність події
Теорія – це розділ математичної науки, вивчає закономірності випадкових явищ. Предметом вивчення теорії ймовірностей є дослідження ймовірнісних закономірностей випадкових (однорідних) масових явищ. Методи, виявлені в теорії ймовірностей, знайшли широке застосування у більшості сучасних наук та різних галузях діяльності людини.
Особливо теорія ймовірностей застосовується для дослідження природних. Всі процеси, що протікають, всі фізичні явища в тій чи іншій мірі не обходяться без присутності елемента випадковості. Як би точно не був поставлений досвід, як би точно не було б зафіксовано результати емпіричних досліджень при повторному проведенні експерименту, результати відрізнятимуться від вторинних даних.
При вирішенні багатьох завдань їх залежить від великої кількості факторів, які складно зареєструвати або врахувати, але вони мають велике значення на кінцевий результат. Часом кількість цих другорядних факторів так багато, і вони мають такий великий вплив, що врахувати їх класичними методами просто неможливо. Так, наприклад, це завдання на рух Сонячної системи, прогнози, довжина стрибка спортсмена, ймовірність знайомого по дорозі на службу та різні ситуації на фондовій біржі.
Теорія ймовірностей застосовується у робототехніці. Наприклад, якийсь автоматизований пристрій (первинна заготівля робота) виконує певні обчислення. У той час як вона веде розрахунки, зовні на неї систематично впливають різними перешкодами, незначними для системи, але позначаються на результатах роботи. Завдання інженера полягає в тому, щоб визначити, з якою частотою виникатиме помилка, нав'язана зовнішніми перешкодами. Так само методами теорії ймовірності можна розробити алгоритм для похибки обчислення до мінімуму.
Завдання подібного роду часто зустрічаються і при розробці нових видів техніки. Вони вимагають ретельного вивчення не лише головних закономірностей, що пояснюють основні